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机器学习经典算法之-----最小二乘法

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最小二乘法

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢? 监督学习中,如果预测的变量是离散的,我们称其为分类(如决策树,支持向量机等),如果预测的变量是连续的,我们称其为回归。回归分析中,如果只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线;对于三维空间线性是一个平面,对于多维空间线性是一个超平面...

对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值(X1,Y1),(X2,Y2), …,(Xn,Yn)。对于平面中的这n个点,可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看,这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为:使总的拟合误差(即总残差)达到最小。有以下三个标准可以选择:

(1)用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
        (2)用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
        (3)最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外,得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

最常用的是普通最小二乘法( Ordinary  Least Square,OLS):所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。(Q为残差平方和)- 即采用平方损失函数。

样本回归模型:

                   其中ei为样本(Xi, Yi)的误差

平方损失函数:

则通过Q最小确定这条直线,即确定,以为变量,把它们看作是Q的函数,就变成了一个求极值的问题,可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数:

根据数学知识我们知道,函数的极值点为偏导为0的点。

解得:

 

这就是最小二乘法的解法,就是求得平方损失函数的极值点。

最小二乘法与梯度下降法

最小二乘法跟梯度下降法都是通过求导来求损失函数的最小值,那它们有什么区别呢。

相同


  1.本质相同:两种方法都是在给定已知数据(independent & dependent variables)的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。
  2.目标相同:都是在已知数据的框架内,使得估算值与实际值的总平方差尽量更小(事实上未必一定要使用平方),估算值与实际值的总平方差的公式为:

\Delta =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}{(f_{\beta }(\bar{x_{i}} )-y_{i})^{2} }

其中\bar{x_{i} } 为第i组数据的independent variable,y_{i} 为第i组数据的dependent variable,\beta 为系数向量。


   不同
  1.实现方法和结果不同:最小二乘法是直接对\Delta求导找出全局最小,是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法,先给定一个\beta ,然后向\Delta下降最快的方向调整\beta ,在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢,并且对初始点的选择极为敏感,其改进大多是在这两方面下功夫。


推导过程

1 写出拟合方程
y=a+bx

2 现有样本(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn)

3 设di为样本点到拟合线的距离,即误差
di=yi(a+bxi)

4 设D为差方和(为什么要取平方前面已说,防止正负相互抵消)
D=i=1ndi2=i=1n(yiabxi)

5 根据一阶导数等于0,二阶大于等于0(证明略)求出未知参数
对a求一阶偏导
Da=i=1n2(yiabxi)(1) =2i=1n(yiabxi) 
=2(i=1nyii=1nabi=1nxi) =2(ny¯nanbx¯)

对b求一阶偏导
Db=i=1n2(yiabxi)(xi) =2i=1n(xiyiaxibxi2) 
=2(i=1nxiyiai=1nxibi=1nxi2) =2(i=1nxiyinax¯bi=1nxi2)

令偏导等于0得
2(ny¯nanbx¯)=0
=>a=y¯bx¯

2(i=1nxiyinax¯bi=1nxi2)=0并将a=y¯bx¯带入化简得
=>i=1nxiyinx¯y¯+nbx¯2bi=1nxi2=0
=>i=1nxiyinx¯y¯=b(i=1nxi2nx¯2)
=>b=i=1nxiyinx¯y¯i=1nxi2nx¯2

因为i=1n(xix¯)(yiy¯)=i1n(xiyix¯yixiy¯+x¯y¯)=i=1nxiyinx¯y¯nx¯y¯+nx¯y¯
i=1n(xix¯)2=i1n(xi22x¯xi+x¯2)=i=1nxi22nx¯2+nx¯2=i=1nxi2nx¯2

所以将其带入上式得b=i=1n(xix¯)(yiy¯)i=1n(xix¯)2

最小二乘法

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